12．设a1，a2，…，a50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字1的个数为( )
A．24 B．15
C．14 D．11
[答案] A
[解析]
⇒a＋a＋…＋a＝39.
故a1，a2，…，a50中有11个零，
设有x个1，y个－1，则
⇒故选A.
13．(文)数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a2010＝( )
A．22010－1 B．22010
C．22010＋2 D．22011－1
[答案] B
[解析] 由条件知an＋1－an＝2n，a1＝2，
∴an＝(an－an－1)＋ (an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n，∴a2010＝22010.
(理)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f ′(x)g(x)<f(x)g′(x)，＋＝，若有穷数列{}(n∈N*)的前n项和等于，则n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
[答案] B
[解析] f ′(x)g(x)<f(x)g′(x)
⇒<0
⇒[]′<0⇒0<a<1，
＋＝⇒a＋a－1＝⇒2a2－5a＋2＝0
⇒a＝或a＝2(舍去)，
∴＝()n，
∴{}(n∈N*)是以为首项，为公比的等比数列．
∴＝，
∴()n＝，∴n＝5.故选B.
14．(文)数列{an}中，a1＝35，an＋1－an＝2n－1(n∈N*)，则的最小值是________．
[答案] 10
[解析] 由an＋1－an＝2n－1可知，当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[2(n－1)－1]＋ [2(n－2)－1]＋[2(n－3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＋35＝n2－2n＋36.
∴＝＝n＋－2≥2×－2＝10，
当且仅当n＝6时，取等号．
(理)已知f(x)＝sin，an＝f(n)＋f ′(n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝________.
[答案] 1
[解析] f ′(x)＝cos，an＝sin＋cos，∴a1＝1，a2＝－，a3＝－1，a4＝，且{an}的周期为4，又2013＝503×4＋1且a1＋a2＋a3＋a4＝0，
∴S2013＝503×0＋a1＝1.
15．(文)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．
(1)求出数列{an}的通项公式；
(2)若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．
[解析] (1)∵3an＋1＋2Sn＝3，①
∴当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3，②
由①－②得，3an＋1－3an＋2an＝0.
∴＝ (n≥2)．
又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝.
∴数列{an}是首项为1，公比q＝的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝n－1(n为正整数)．
(2)由(1)知，Sn＝
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有
k≤，
∵数列单调递增，当n＝1时，数列取最小项为，∴必有k≤1，即实数k的最大值为1.
(理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n，n∈N*.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若数列{an}满足＝f ′()，且a1＝4，求数列{an}的通项公式；
(3)记bn＝，数列{bn}的前n项和Tn，求证：≤Tn<2.
[解析] (1)由题意及f ′(x)＝2ax＋b得
解之得即f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．
(2)由条件得＝＋2n，∴－＝2n，
累加得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)
＝＝n2－n，
∴＝(n－)2，
所以an＝＝(n∈N*)．
(3)bn＝＝
＝2(－)，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝2(1－)<2.
∵2n＋1≥3，故2(1－)≥，∴≤Tn<2.
16.如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与OA、OB分别相交于点M、N.若＝x，＝y.
(1)把y用x表示出来(即求y＝f(x)的解析式)；
(2)设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足： Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)＝＝－，
则＝－＝x－y，
＝－＝(－)－x＝－(1＋x)＋，
又由∥得，x－y(1＋x)＝0，即y＝(x>0)．
(2)当n≥2时，∵Sn＝f(Sn－1)＝，
∴＝＝＋1，
又S1＝a1＝1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，即Sn＝，
∴an＝
即an＝
