数学教学：变通的生命有机体

  案例一：松松的一道数学题

  这天下课铃响了，松松兴奋地推开办公室的门，来到我跟前：“张老师，我在周六的数学兴趣班上学了一个公式，可以很快地算出这样的题。”说着他将一张数学兴趣班的试卷摊在我面前，指点着一道数学题：请计算13、14、15、16、17的和。“相邻的数之间都相差1，这样的一串儿数叫等差数列，可以根据等差数列的求和公式来算出它们的和。”松松用了求等差数列的公式很快做出了这道题。面对一个小学四年级学生运用高中的等差数列知识解答此题，我并不感到兴奋。

  “你做得很对，这个公式确实能够快速地计算出这样的题目。”我先鼓励他一番，随后话锋一转，故意卖起关子：“（13＋17）×5÷2可以看成等差数列求和公式，其实这种方法我们本学期也学过。”松松有点不服地说：“等差数列求和公式是中学才讲的，我们四年级哪儿学过？”“你不信？如果我们把这些数字用点子图来表示，这道题就会变成我们本学期学过的一个数学知识，好好想想，你一定能够想出来！”松松带着问题疾步离开了办公室。

  第二天一早，松松带着一脸的兴奋与快乐再次出现在办公室。“张老师，我知道了，等差数列求和公式就是我们四年级学过的梯形面积公式！”他一边向我展示用圆点列出的梯形图，一边讲：“我把这一串数分别用小圆点表示，就形成一个上底为13、下底为17、高为5的梯形。求这串数字的和，就相当于求小圆点的个数，可以用梯形面积公式计算：（上底＋下底）×高÷2。”

  松松的领悟让我十分兴奋，我进一步启发他说：“如果站在数的角度去思考，可以把这道求数字的题看成我们还未学过的等差数列求和知识；如果站在图形角度去思考，还可以把它理解为灵活运用梯形面积公式来解答数字求和问题。数学知识的这种变化正是数学最有趣的地方。请你接着变戏法，把这道题用三年级的整数乘法来解答，你能行吗？”“噢！我知道了！”松松思考片刻大声说了起来：“让17减少2，让13增加2，让16减少1，让14增加1，它们的和不变，但原题就变成了5个15相加，可以表示为15×5＝75。”“好，那么你能再用梯形点子图来说明吗？”我步步紧逼。松松全神贯注地看着图，不一会儿大喊起来：“嗨！简单！把最后一行的小圆点移动两个到第一行，把倒数第二行的小圆点移动一个到第二行，不就变成了每行15、共5行的长方形了吗！”松松一脸的兴奋表明，他对于这道题的解答已不再是按照公式程序化地操作，而是能够将所学的数学知识创造性地进行运用了。

  案例二：小蒙的计算时间问题

  小蒙是我教的三年级某班的学生，他是一个努力认真，但理解能力相对较差的学生。他在努力地奔跑，却总是被落到后面。渐渐地，我感到了他躲避的目光中充满了怯懦与忧郁。

  一日在教“时、分、秒”一课时，我出了这样一道题：笑笑看一场电影时，电影开始时间是18：55分，电影结束时间是21：05分，请问这场电影放映的时间是多长？

  题目一出，思维较为活跃的学生先后说出了许多种思考方法及结果。小蒙却茫然地坐在那里，显然这些解法小蒙理解起来较吃力。对于偏爱计算之类的程序化的题目，且计算准确率较高的小蒙来说，属于他的方法在哪里呢？“前面我们已经知道计算经历的时间，就是——”我故意拉着长声。“用后面的时间减去前面的时间。”学生们大声答着，这里面我能感受到小蒙的声音。“你能列出算式吗？”我将问题抛向小蒙。“21：05－18：55，”小蒙小心地答着。得到我的肯定后，他的神情放松了些。“计算减法题，我们可以做竖式，写竖式要注意什么？”我接着问。“数位对齐”小蒙流利地答着。于是我让小蒙在黑板上写出竖式并计算。“不够减怎办？”“借位!”小蒙的声音洪亮了许多。要知道计算可是他的强项啊！“借一当几？前面可是小时啊！”我提示着。小蒙停顿了一下说：“借一当60。”在我随后的指导下，小蒙列出了正确的算式，得出了正确答案。

  教学启示1：不要越位

  数学是一个变通的生命有机体。同一数学知识在其“生长”过程中会呈现出不同的阶段性特征。前面的知识表征是后者的动态生成过程，后面知识表征是前者的生成结果。数学教学过程中，尤其是对学有余力的学生进行学习指导时，应关注其解决难题的思维方式。运用已有知识解决未来问题，需要的是创造性地运用知识解决问题的能力；而运用未来的知识解决现有问题，则是一种超前的、记忆性的解题操练。教学中不要“越位”，不要让有数学天赋的学生因起点的抢跑而输在终点。

  教学启示2：扬长避短

  数学教师在思考一道数学题目时，不要受自己所教数学年级段的知识的干扰，产生思维定式，将数学题目“禁锢”在某一年级段的数学知识中，要善于捕捉统一数学知识的不同表征，从不同年级段的数学知识的角度去思考同一道数学题目的解答方法。尤其是指导学困生的数学学习时，要将他们难于理解的知识进行“变形”处理，教学中要“扬长避短”，将数学知识的不同表征与学生的思维个性及已有的知识结构相融，让学生学会用适合自己的方法，增加基础教育中数学课堂的包容性。从动态数学的角度去看待数学，数学是个变通的有机生命体。尽管数学的形式是丰富多彩的，但富于变化的形式中却蕴含了相通的质——“形变质通”。(