2014届江西职高对口升学数学月考模拟试题16

考点：

数列与不等式的综合；数列递推式．3794729

专题：

综合题；等差数列与等比数列．

分析：

（Ⅰ）利用等比数列{a_n}满足，确定数列的公比与首项，即可求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n﹣2，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．

解答：

解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，

∵，n∈N^*，∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，…（2分）

∴，…（4分） 

又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．

∴．   …（7分）

（Ⅱ），…（9分）

∴3（2ⁿ﹣1）＞k•3•2^n﹣1﹣2，∴．  …（11分）

令，f（n）随n的增大而增大，

∴．∴．

∴实数k的取值范围为． …（14分）

点评：

本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

考点：

函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．3794729

专题：

计算题．

分析：

（I）根据已知中函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．我们易得f'（﹣1）=0，f'（1）=2，由此构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．

（II）根据（I）的结论我们易化简关于x的方程f（x）+x³﹣2x²﹣x+m=0，构造函数g（x）=分析函数的单调性后，我们可将关于x的方程f（x）+x³﹣2x²﹣x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，转化为不等式问题，解关于m的不等式组，即可求出实数m的取值范围．

解答：

解：（I）∵函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=﹣1处取得极值，

∴f'（﹣1）=3a﹣2b+2=0

又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．

f'（1）=3a+2b+2=2

解得a=﹣，b=

0在（1，2）内有根．（6分）

（II）由（I）得方程f（x）+x³﹣2x²﹣x+m=0可化为：

令g（x）=

则g'（x）=2x²﹣3x+1

∵当x∈[，2]时，g'（x）≤0

故g（x）=在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，

若关于x的方程f（x）+x³﹣2x²﹣x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，

则

解得：

点评：

本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知构造关于a，b的方程，解方程求出函数的解析式，是解答本题的关键．

利用时间充分

利用时间不充分

合计

走读生

50

a

　75　

住校生

b

15

　25　

合计

　60　

40

n

P（K²≥k₀）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k₀

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

考点：

独立性检验；茎叶图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．3794729

专题：

概率与统计．

分析：

（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），则由图可知：学习时间少于60钟的频率为：P₁+P₂=，由此能够求出n的值并求出有效学习时间在[90，120）内的频率．

（2）求出K²，比较K²与3.841的大小，能够判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．

（3）由题设条X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，能够得到X的分布列和期望．

解答：

解：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），

则由图可知：P₁=×30=，P₂=×30=，

∴学习时间少于60钟的频率为：P₁+P₂=，

由题n×=5，∴n=100，…（2分）

又P₃=×30=，P₅=×30=，

P₆=×30=，P₇=×30=，

P₈=×30=，

∴P₄=1﹣（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）

∴

∴有效学习时间在[90，120）内的频率为．（4分）

（2）抽取的100人中，走读生有750×=75人，住读生25人，∴a=25，b=10（6分）

由于K²=＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．（8分）

（3）由题意知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，共20人

∴P（X=i）=，（i=0，1，2，3），

∴P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，（10分）

∴X的分布列为：

EX=0×+1×+2×+3×=．

点评：

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．

考点：

数列的求和；等比数列的通项公式．3794729

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（I）由{a_n}为递增的等比数列，得到数列{a_n}的公比q＞0，且a₁＞0，又{a₁，a₃，a₅}⊂{﹣10，﹣6，﹣2，0，1，3，4，16}，可得出a₁，a₃，a₅三项，则公比可求，通项可求．

（II）先假设存在等差数列{b_n}，由所给式子求出b₁，b₂，公差可求，通项可求，证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n﹣1++a_n﹣1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹﹣n﹣2对一切n∈N*都成立，用错位相减法求得此数列是适合的．

解答：

解：（I）因为{a_n}是递增的等比数列，所以数列{a_n}公比q＞0，首项a₁＞0，

又{a₁，a₃，a₅}⊂{﹣10，﹣6，﹣2，0，1，3，4，16}，

所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）

从而，q=2，a_n=a₁q^n﹣1=2^n﹣1

所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n﹣1（6分）

（II）假设存在满足条件的等整数列{b_n}，其公差为d，则当n=1时，a₁b₁=1，

又∵a₁=1，∴b₁=1；

当n=2时，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2

则d=b₂﹣b₁=1，∴b_n=b₁+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n（8分）

以下证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n﹣1++a_n﹣1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹﹣n﹣2对一切n∈N*都成立．

设S_n=a₁b_n+a₂b_n﹣1+…+a_n﹣1b₂+a_nb₁，

即S_n=1×n+2×（n﹣1）+2²×（n﹣2）+2³×（n﹣3）+…+2^n﹣2×2+2^n﹣1×1，（1）

2S_n=2×n+2²×（n﹣1）+2³×（n﹣2）+…+2^n﹣1×2+2ⁿ×1，（2）

（2）﹣（1）得S_n=﹣n+2+2²+2³++2^n﹣1+2ⁿ=，

所以存在等差数列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n﹣1+a₃b_n﹣2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹﹣n﹣2对一切n∈N*都成立（12分）

点评：

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，已知数列为等比数列，求通项公式，求首项和公比即可；用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积；考查推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想．

考点：

利用导数研究函数的极值；不等式．3794729

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（Ⅰ）求出f′（x），因为x=3是函数f（x）的一个极值点得到f′（3）=0即可得到a与b的关系式；令f′（x）=0，得到函数的极值点，用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，得到f（x）在区间[0，4]上的值域，又在区间[0，4]上是增函数，求出的值域，最大减去最小得到关于a的不等式求出解集即可．

解答：

解：（Ⅰ）f′（x）=﹣[x²+（a﹣2）x+b﹣a]e^3﹣x，

由f′（3）=0，得﹣[3²+（a﹣2）3+b﹣a]e^3﹣3=0，即得b=﹣3﹣2a，

则f′（x）=[x²+（a﹣2）x﹣3﹣2a﹣a]e^3﹣x

=﹣[x²+（a﹣2）x﹣3﹣3a]e^3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e^3﹣x．

令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=﹣a﹣1，

由于x=3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠﹣4．

当a＜﹣4时，x₂＞3=x₁，则

在区间（﹣∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

在区间（3，﹣a﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

在区间（﹣a﹣1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．

当a＞﹣4时，x₂＜3=x₁，则

在区间（﹣∞，﹣a﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

在区间（﹣a﹣1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，

那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，

而f（0）=﹣（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^﹣1＞0，f（3）=a+6，

那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[﹣（2a+3）e³，a+6]．

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，（a²+）e⁴]，

由于（a²+）﹣（a+6）=a²﹣a+=（）²≥0，

所以只须仅须（a²+）﹣（a+6）＜1且a＞0，

解得0＜a＜．

故a的取值范围是（0，）．

点评：

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．